El Primer Teorema Fundamental del Cálculo Integral Explicado con Animaciones

El Primer Teorema Fundamental del Cálculo establece una relación profunda entre la derivada y la integral.Consideremos una función f de x, en este caso usaremos f de x igual a x al cuadrado.Tomemos dos puntos en el eje x, que llamaremos a y b.Según el Primer Teorema Fundamental del Cálculo, si F es una antiderivada de f, entonces la integral definida de f desde a hasta b es igual a F de b menos F de a.Geométricamente, esta integral representa el área bajo la curva de f de x desde a hasta b.Podemos visualizar esta área como la suma de rectángulos. Al aumentar el número de rectángulos, la aproximación mejora.La antiderivada de f de x igual a x al cuadrado es F de x igual a x al cubo sobre tres. El valor de F en los puntos a y b nos da exactamente el área bajo la curva.Veamos cómo al aumentar el valor de x desde a hasta b, el área bajo la curva se acumula gradualmente.La tasa de cambio de esta área acumulada es precisamente el valor de la función f de x en cada punto. Esta relación fundamental es la esencia del Primer Teorema Fundamental del Cálculo.Esta interpretación geométrica nos muestra cómo el Primer Teorema Fundamental del Cálculo relaciona elegantemente los conceptos de derivada e integral.El Primer Teorema Fundamental del Cálculo establece formalmente una relación entre derivadas e integrales.Si f es una función continua en un intervalo cerrado a,b, y F es cualquier antiderivada de f, entonces:La integral definida de f desde a hasta b es igual a F evaluada en b menos F evaluada en a.Para demostrarlo, definimos una función acumulativa G de x.G de x es la integral definida de f desde a hasta x.Geométricamente, G de x representa el área acumulada bajo la curva f desde a hasta x.Ahora, analizamos la derivada de G con respecto a x.Paso uno: Calculamos G prima de x aplicando el teorema del valor medio del cálculo diferencial.Por definición, la derivada de G en x es el límite cuando h tiende a cero de G de x más h menos G de x dividido entre h.Sustituyendo la definición de G obtenemos la diferencia de dos integrales dividida entre h.Esta diferencia se simplifica como la integral de f desde x hasta x más h, dividida entre h.Aplicamos el teorema del valor medio para integrales.Para un h pequeño, existe un valor c entre x y x más h tal que:La integral de f desde x hasta x más h es igual a f de c multiplicado por h.Por lo tanto, la derivada de G de x es el límite cuando h tiende a cero de f de c, que es igual a f de x.Así, hemos demostrado que G prima de x es igual a f de x.Ahora conectamos G con cualquier antiderivada F de f.Dado que G prima de x es igual a f de x, y F prima de x también es igual a f de x.Entonces G de x y F de x difieren solo por una constante C.Por lo tanto, G de x es igual a F de x más C.Para encontrar el valor de C, evaluamos en x igual a a.G de a es la integral de f desde a hasta a, que es cero. Esto es igual a F de a más C.Despejando, obtenemos que C es igual a menos F de a.Sustituyendo el valor de C, obtenemos que G de x es igual a F de x menos F de a.G de x es igual a F de x menos F de a.Ahora evaluamos esta igualdad en x igual a b.G de b es igual a F de b menos F de a.Recordando que G de b es la integral de f desde a hasta b, obtenemos el resultado del teorema.