Einfach erklärt: Wahrscheinlichkeiten von Pokerhänden mit Kombinatorik

Grundlagen der Poker-Kombinatorik.Ein Standardkartenspiel besteht aus 52 Karten mit 4 Farben: Herz, Karo, Pik und Kreuz, sowie 13 Werten pro Farbe, von 2 bis Ass.Bei Poker werden 5 Karten aus diesem Deck gezogen.Das bedeutet, dass es insgesamt eine bestimmte Anzahl möglicher Pokerhände gibt. Diese berechnen wir mit der Kombinationsformel.Für Poker setzen wir n gleich 52, die Anzahl aller Karten, und k gleich 5, die Anzahl der Karten in einer Hand.Wir beginnen die Berechnung, indem wir die Fakultäten ausmultiplizieren.Nach der Berechnung erhalten wir genau zwei Millionen, fünfhundertachtundneunzigtausendneunhundertsechzig mögliche Pokerhände.Diese Gesamtzahl von 2,598,960 dient als Grundlage für alle weiteren Wahrscheinlichkeitsberechnungen im Poker.Der Royal Flush ist die seltenste und wertvollste Pokerhand.Er besteht aus fünf aufeinanderfolgenden Karten derselben Farbe, von der Zehn bis zum Ass.Insgesamt gibt es nur vier mögliche Royal Flushes, einen in jeder Kartenfarbe: Pik, Herz, Karo und Kreuz.Schauen wir uns die Wahrscheinlichkeit eines Royal Flushes an.Beim Poker gibt es insgesamt zwei Millionen fünfhundertachtundneunzigtausendneunhundertsechzig mögliche Blätter.Da es nur vier mögliche Royal Flushes gibt, einen pro Kartenfarbe,beträgt die Wahrscheinlichkeit vier geteilt durch zwei Millionen fünfhundertachtundneunzigtausendneunhundertsechzig, was etwa null Komma null null null eins fünf vier Prozent entspricht,oder etwa eins zu sechshundertneunundvierzigtausendsiebenhundertvierzig.Der Straight Flush ist jede andere Folge von fünf aufeinanderfolgenden Karten derselben Farbe.Hier sind einige Beispiele für verschiedene Straight Flushes.Berechnen wir nun die Wahrscheinlichkeit eines Straight Flushes.Pro Farbe gibt es neun mögliche Straight Flushes,nämlich Ass bis Fünf, Zwei bis Sechs, Drei bis Sieben, Vier bis Acht, Fünf bis Neun, Sechs bis Zehn, Sieben bis Bube, Acht bis Dame und Neun bis König.Da es vier Kartenfarben gibt, und wir die vier Royal Flushes bereits gezählt haben, erhalten wir insgesamt sechsunddreißig mögliche Straight Flushes.Die Wahrscheinlichkeit beträgt somit sechsunddreißig geteilt durch zwei Millionen fünfhundertachtundneunzigtausendneunhundertsechzig, was etwa null Komma null null eins drei neun Prozent entspricht,oder etwa eins zu zweiundsiebzigtausendeinhundertdreiundneunzig.Vergleichen wir die Wahrscheinlichkeiten von Royal Flush und Straight Flush.Die Wahrscheinlichkeit eines Royal Flushes beträgt null Komma null null null eins fünf vier Prozent,während ein Straight Flush mit null Komma null null eins drei neun Prozent etwa neunmal häufiger vorkommt.In diesem Abschnitt betrachten wir zwei starke Pokerhände: den Vierling und das Full House.Beginnen wir mit dem Vierling, auch bekannt als Four of a Kind.Bei einem Vierling haben wir vier Karten mit demselben Wert, wie zum Beispiel vier Asse, plus eine beliebige fünfte Karte.Nun berechnen wir, wie viele verschiedene Vierling-Kombinationen möglich sind. Wir haben 13 mögliche Werte für den Vierling, von 2 bis Ass. Für die fünfte Karte bleiben 48 Möglichkeiten übrig, da vier Karten bereits verwendet wurden. Multiplizieren wir diese Zahlen, erhalten wir 624 verschiedene Vierlinge.Die Wahrscheinlichkeit, einen Vierling zu erhalten, berechnet sich aus der Anzahl der möglichen Vierlinge geteilt durch die Gesamtzahl aller möglichen Pokerhände. Diese beträgt 624 durch 2.598.960, was etwa 0,024 Prozent entspricht, oder ungefähr 1 zu 4.165.Jetzt betrachten wir das Full House.Ein Full House ist eine weitere starke Pokerhand.Ein Full House kombiniert einen Drilling mit einem Paar. In unserem Beispiel haben wir drei Könige und zwei Damen.Für die Berechnung aller möglichen Full Houses müssen wir mehrere Faktoren berücksichtigen. Zunächst haben wir 13 Möglichkeiten für den Wert des Drillings. Für jede dieser Möglichkeiten gibt es 4 Wege, 3 Karten aus 4 Karten gleichen Werts zu wählen. Für das Paar bleiben 12 Werte übrig, und es gibt 6 Möglichkeiten, 2 Karten aus 4 Karten gleichen Werts zu wählen. Multiplizieren wir diese Zahlen, erhalten wir 3.744 verschiedene Full Houses.Die Wahrscheinlichkeit, ein Full House zu erhalten, beträgt 3.744 geteilt durch 2.598.960, was ungefähr 0,144 Prozent entspricht, oder etwa 1 zu 694. Ein Full House ist also ungefähr sechsmal häufiger als ein Vierling.Das waren die Wahrscheinlichkeiten für den Vierling und das Full House, zwei sehr starke Pokerhände.Ein Flush besteht aus 5 Karten derselben Farbe, die keine Sequenz bilden.Pro Farbe gibt es dreizehn über fünf, also ein tausend zwei hundert sieben und achtzig mögliche Kombinationen.Von diesen müssen wir die 10 Straight und Royal Flushes abziehen, was zu ein tausend zwei hundert sieben und siebzig Kombinationen pro Farbe führt.Mit vier Farben ergibt das insgesamt fünf tausend ein hundert und acht mögliche Flushes.Die Wahrscheinlichkeit, einen Flush zu erhalten, beträgt etwa null Komma eins neun sieben Prozent oder circa eins zu fünf hundert neun.Ein Straight ist eine Folge von 5 Karten unterschiedlicher Werte, unabhängig von der Farbe.Es gibt 10 mögliche Sequenzen, von Ass bis Fünf bis hin zu Zehn bis Ass.Für jede der 5 Positionen gibt es 4 mögliche Farben, was zu vier hoch fünf Kombinationen führt.Von diesen müssen wir die 40 Straight Flushes abziehen, was zu insgesamt zehn tausend zwei hundert möglichen Straights führt.Die Wahrscheinlichkeit, einen Straight zu erhalten, beträgt etwa null Komma drei neun zwei Prozent oder circa eins zu zwei hundert fünf und fünfzig.Ein Drilling besteht aus drei Karten desselben Werts und zwei unpassenden Karten.Es gibt 13 mögliche Werte für den Drilling.Für jeden Wert gibt es vier über drei, also vier Möglichkeiten, drei Karten dieses Werts zu wählen.Für die beiden übrigen Karten gibt es zwölf über zwei, also sechsundsechzig mögliche Wertekombinationen.Jede dieser beiden Karten kann in vier verschiedenen Farben erscheinen, was zu vier hoch zwei gleich sechzehn möglichen Farbkombinationen führt.Insgesamt gibt es also dreizehn mal vier mal sechsundsechzig mal sechzehn gleich vier und fünfzig tausend neun hundert zwölf mögliche Drillinge.Die Wahrscheinlichkeit, einen Drilling zu erhalten, beträgt etwa zwei Komma eins eins Prozent oder circa eins zu sieben und vierzig.