Operacje na systemach liczbowych - Prosty przewodnik

W tym module poznamy podstawy systemów liczbowych. Zrozumienie różnych sposobów reprezentacji liczb jest kluczowe w informatyce.Systemy liczbowe to różne metody zapisu i reprezentacji liczb. Każdy system liczbowy charakteryzuje się swoją podstawą, która określa liczbę dostępnych cyfr.Najczęściej używamy systemu dziesiętnego, który wykorzystuje cyfry od zero do dziewięć. Jest to system o podstawie dziesięć. W tym systemie wartość cyfry zależy od jej pozycji i odpowiada potęgom liczby dziesięć.Na przykład, liczba trzy tysiące pięćset osiemdziesiąt dwa w systemie dziesiętnym to trzy razy dziesięć do potęgi trzeciej, plus pięć razy dziesięć do potęgi drugiej, plus osiem razy dziesięć do potęgi pierwszej, plus dwa razy dziesięć do potęgi zerowej.W informatyce kluczowe znaczenie mają również inne systemy liczbowe. Najważniejsze z nich to:System binarny o podstawie dwa, który wykorzystuje tylko cyfry zero i jeden. Jest fundamentalny dla działania komputerów.System ósemkowy o podstawie osiem, który używa cyfr od zero do siedem. Był historycznie ważny w programowaniu.System szesnastkowy o podstawie szesnaście, który używa cyfr od zero do dziewięć oraz liter od A do F. Jest powszechnie używany w programowaniu.W każdym systemie liczbowym wartość cyfry zależy od jej pozycji w liczbie. Im dalej w lewo, tym większą wagę ma dana cyfra.Spójrzmy na porównanie wag pozycyjnych w różnych systemach. W każdym systemie pozycja określa potęgę podstawy systemu. Na przykład, trzecia pozycja od prawej w systemie dziesiętnym to dziesięć do potęgi drugiej, czyli sto. W systemie binarnym to dwa do potęgi drugiej, czyli cztery, a w systemie szesnastkowym to szesnaście do potęgi drugiej, czyli dwieście pięćdziesiąt sześć.Na zakończenie, zobaczmy tę samą liczbę czterdzieści dwa zapisaną w różnych systemach liczbowych.Liczba czterdzieści dwa w systemie binarnym to jeden zero jeden zero jeden zero. Warto zauważyć, że jedynki występują na pozycjach odpowiadających trzydzieści dwa, osiem i dwa, co sumuje się do czterdziestu dwóch.Podsumujmy kluczowe aspekty systemów liczbowych. Systemy liczbowe to różne sposoby reprezentacji liczb. Każdy system ma unikalną podstawę i zestaw dostępnych cyfr. Wartość cyfry zależy od jej pozycji i odpowiada potęgom podstawy danego systemu. W informatyce kluczowe znaczenie mają systemy binarny, ósemkowy i szesnastkowy.Konwersja liczb między różnymi systemami to podstawowa operacja w informatyce.Aby przekształcić liczbę z systemu dziesiętnego na inny, dzielimy ją wielokrotnie przez podstawę docelowego systemu, zapisując reszty z dzielenia od dołu do góry.Przykładowo, aby zamienić liczbę 42 w systemie dziesiętnym na system binarny, wykonujemy serię dzieleń przez 2.Odczytując reszty od dołu do góry, otrzymujemy liczbę binarną.Odczytując wszystkie reszty otrzymujemy liczbę 101010 w systemie binarnym.Z kolei konwersja z dowolnego systemu na dziesiętny polega na pomnożeniu każdej cyfry przez odpowiednią potęgę podstawy i zsumowaniu wyników.Na przykład, aby zamienić liczbę 101 w systemie binarnym na system dziesiętny:Mnożymy każdą cyfrę przez odpowiednią potęgę dwójki.Pierwsza cyfra 1 mnożona przez 2 do potęgi 2, czyli 4. Środkowe 0 mnożone przez 2 do potęgi 1, czyli 2. Ostatnia cyfra 1 mnożona przez 2 do potęgi 0, czyli 1.Po wykonaniu mnożeń otrzymujemy 4, 0 i 1.Po zsumowaniu tych wartości otrzymujemy 5 w systemie dziesiętnym.Wizualnie możemy to przedstawić jako sumę wartości pozycyjnych.Suma tych wartości daje nam 5 w systemie dziesiętnym.Operacje arytmetyczne w różnych systemach. Wykonywanie działań arytmetycznych w systemach niedziesiętnych opiera się na tych samych zasadach co w systemie dziesiętnym, ale z uwzględnieniem podstawy danego systemu.Dodawanie w systemie binarnym wymaga pamiętania o przeniesieniach. Na przykład, jeden plus jeden równa się dziesięć w systemie binarnym, czyli zero z przeniesieniem jeden.Zobaczmy to krok po kroku. Gdy dodajemy jeden i jeden, otrzymujemy zero z przeniesieniem jeden. Całkowity wynik to jeden zero w systemie binarnym, czyli dwójka w dziesiętnym.Mnożenie wykonujemy podobnie jak w systemie dziesiętnym, pamiętając o regułach systemu binarnego. Pomnóżmy sto jeden dwa razy jedenaście dwa.Najpierw mnożymy przez jeden z prawej strony, co daje nam sto jeden. Następnie mnożymy przez jeden z lewej i przesuwamy wynik o jedną pozycję w lewo. Po dodaniu otrzymujemy jeden jeden jeden jeden w systemie binarnym, co równa się piętnaście w systemie dziesiętnym.Odejmowanie często realizuje się przez dodawanie uzupełnienia liczby. W systemie binarnym używa się uzupełnienia do dwóch.Aby znaleźć uzupełnienie do dwóch, najpierw dokonujemy negacji bitowej, zamieniając zera na jedynki i jedynki na zera. Następnie dodajemy jeden do wyniku. Odejmowanie wykonujemy przez dodanie uzupełnienia do dwóch. Ignorujemy nadmiarowy bit z lewej strony, otrzymując w tym przypadku zero.Dzielenie wykonujemy analogicznie do systemu dziesiętnego. Spójrzmy na przykład dzielenia jeden zero jeden jeden przez jeden zero w systemie binarnym.Krok po kroku dzielimy, podobnie jak w długim dzieleniu w systemie dziesiętnym. Wynikiem jest jeden zero jeden kropka jeden w systemie binarnym, co odpowiada pięć i pół w dziesiętnym.Warto pamiętać, że komputery wykonują wszystkie operacje w systemie binarnym, a inne reprezentacje, jak dziesiętna czy szesnastkowa, są jedynie wygodniejsze dla człowieka.Na przykład, liczba sto dwadzieścia osiem w systemie dziesiętnym to jeden zero zero zero zero zero zero zero w binarnym lub osiem zero w szesnastkowym. Wewnątrz procesora wszystkie obliczenia wykonywane są na ciągach bitów, a użytkownik widzi je w bardziej przyjaznej formie dziesiętnej.Podsumowując, operacje arytmetyczne w różnych systemach liczbowych opierają się na tych samych zasadach, ale uwzględniają podstawę danego systemu. Pamiętaj o przeniesieniach przy dodawaniu, o regułach właściwych dla każdego systemu przy mnożeniu, o wykorzystaniu uzupełnień przy odejmowaniu oraz o analogicznym podejściu do dzielenia. Niezależnie od reprezentacji, komputery zawsze operują na systemie binarnym.